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# Vocabulaire sur les applications

# Applications

Fonction :: On appelle fonction la donnée de deux ensembles EE, FF et d’une relation ff de EE vers FF telle que tout élément de EE est en relation avec au plus un élément de FF.

Lorsque x∈Ex\in E est en relation avec y∈Fy\in F par la relation ff, on note :: y=f(x)y=f(x) à la place de xfyxfy.

On écrit alors x↦fx\mapsto f pour dire que xx est en relation avec f(x)f(x).

EE est l’ensemble de départ et FF est l’ensemble d’arrivée

Γ={(x,y)∈E×F:y=f(x)}\Gamma=\{(x,y)\in E\times F:y=f(x)\} est :: le graphe de la fonction

On introduit usuellement ces notations :

  • DfD_f est l’ensemble des éléments de EE qui sont en relation avec un élément de FF, c’est l’ensemble de définition de la fonction ff, Df=D_f={x∈E:∃!y∈F,y=f(x)}\{x\in E:\exists!y\in F,y=f(x)\}
  • L’image de xx par ff est :: l’élément f(x)f(x) de FF pour tout x∈Dfx\in D_f
  • Un antécédent de yy par ff est :: tout élément x∈Ex\in E tel que y=f(x)y=f(x), si y∈Fy\in F

L’ensemble des fonctions de EE vers FF est noté F(E,F)F(E,F)

En pratique, une fois que l’ensemble définition est déterminé, on envisage des cas où l’ensemble de départ est contenu dans cet ensemble de définition.

On appelle application une fonction ff de EE vers FF telle que tout élément de EE est en relation avec exactement un élément de FF ce qui revient à dire que E⊂DfE\subset D_f

On la note comme une fonction, on comprend que pour tout élément x∈Ex\in E, on fait correspondre un seul élément de FF, noté f(x)f(x)

L’ensemble des applications de EE vers FF est noté :: FEF^E

# Images directes et réciproques

# Définitions

On appelle image directe de AA par ff l’ensemble :: f(A)={f(x):x∈A}={y∈F:∃x∈A,y=f(x)}f(A)=\{f(x):x\in A\}=\{y\in F:\exists x\in A,y=f(x)\}

On appelle image réciproque de BB par ff :: f−1(B)={x∈E,f(x)∈B}f^{-1}(B)=\{x\in E,f(x)\in B\}

# Propriétés

on note f∈FEf\in F^E et (A,A′)⊂E2(A,A')\subset E^2 et (B,B′)⊂F2(B,B')\subset F^2

  • f(A∪A′)=f(A\cup A')= f(A)∪f(A′)f(A)\cup f(A')
  • f−1(B∪B′)=f^{-1}(B\cup B')= f−1(B)∪f−1(B′)f^{-1}(B)\cup f^{-1}(B')
  • f−1(B∩B′)=f^{-1}(B\cap B')= f−1(B)∩f−1(B′)f^{-1}(B)\cap f^{-1}(B')

# Composition

Soient f:E→Ff:E\to F et g:F→Gg:F\to G deux applications, g∘fg\circ f est leur composition :: g∘f:x↦g(f(x))E→Gg\circ f:\phantom{}^{E\to G}_{x\mapsto g(f(x))}

La composition est associative, possède un élément neutre mais n’est pas commutative.

# Restrictions, prolongement d’applications

Soit f:E→Ff:E\to F une application. Si AA est une partie de EE, on appelle restriction de ff sur AA l’application notée f∣Af_{|A} définie par :: f∣A:x↦f(x).A→Ff_{|A}:\phantom{}_{x\mapsto f(x).}^{A\to F}

On dit que ff est un prolongement d’une application gg lorsque :: gg est une restriction de ff.

# Injectivité, surjectivité, bijectivité

# Injectivité

# Définition

Une application est injective si :: tout image a au plus un antécédent, si elle a “injecté” ses antécédents dans l’ensemble des images. Ce qui revient à ∀(x,y)∈E2,f(x)=f(y)  ⟹  x=y\forall (x,y)\in E^2,f(x)=f(y)\implies x=y ou encore ∀(x,y)∈E2,x≠y  ⟹  f(x)≠f(y)\forall (x,y)\in E^2,x\neq y\implies f(x)\neq f(y)

# Propriétés

on note f∈FEf\in F^E et g∈GFg\in G^F

  • Si ff et gg sont injectives, alors g∘fg\circ f est injective
  • Si g∘fg\circ f est injective, alors ff est injective

Voir la démonstration

# Surjectivité

# Définition

Une application est surjective si :: elle est injective superchargée, ie l’injection de EE dans FF s’est produite à fond voir plus, que chaque image a au moins un antécédent, ce qui revient à ∀y∈F,∃x∈E,y=f(x)\forall y\in F,\exists x\in E,y=f(x)

# Propriétés

on note f∈FEf\in F^E et g∈GFg\in G^F

  • Si ff et gg sont surjectives, alors g∘fg\circ f est surjective
  • Si g∘fg\circ f est surjective, alors gg est surjective

Voir la démonstration

# Bijectivité

# Définition

Une application est bijective si :: elle est injective et surjective, elle est juste parfaite quoi, chaque image à exactement un antécédent, il y a une correspondance 1:11:1 entre les images et les antécédents, c’est très cool, ce qui revient à ∀y∈F,∃!x∈E,y=f(x)\forall y \in F,\exists!x\in E,y=f(x)

# Théorème

Une application f∈FEf\in F^E est bijective si :: il existe une application de FF dans EE appelée application réciproque de ff et notée f−1f^{-1}, telle que f−1∘f=IdEf^{-1}\circ f=\text{Id}_E et f∘f−1=IdFf\circ f^{-1}=\text{Id}_F

Ce qui revient à dire qu’une application est bijective s’il existe une application réciproque qui permet de passer des images aux antécédents de cette première tout en conservant les ensembles et qui donnent donc l’identité si on les compose.

exe^x est donc bijective car :: ln⁡(ex)=x\ln{(e^x)}=x et que les ensembles se conservent (De R\mathbb{R} dans R∗+\mathbb{R}^+_*)

# Propriétés

On note f∈FEf\in F^E et g∈GFg\in G^F deux bijections

  • f−1f^{-1} est une bijection entre FF et EE dont la réciproque est ff
  • g∘fg\circ f est une bijection entre EE et GG et (g∘f)−1=(g\circ f)^{-1}= f−1∘g−1f^{-1}\circ g^{-1}

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2+2=42+2=4

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