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Vocabulaire sur les applications#
ApplicationsFonction :: On appelle fonction la donnée de deux ensembles , et d’une relation de vers telle que tout élément de est en relation avec au plus un élément de .
Lorsque est en relation avec par la relation , on note :: à la place de .
On écrit alors pour dire que est en relation avec .
est l’ensemble de départ et est l’ensemble d’arrivée
est :: le graphe de la fonction
On introduit usuellement ces notations :
- est l’ensemble des éléments de qui sont en relation avec un élément de , c’est l’ensemble de définition de la fonction ,
- L’image de par est :: l’élément de pour tout
- Un antécédent de par est :: tout élément tel que , si
L’ensemble des fonctions de vers est noté
En pratique, une fois que l’ensemble définition est déterminé, on envisage des cas où l’ensemble de départ est contenu dans cet ensemble de définition.
On appelle application une fonction de vers telle que tout élément de est en relation avec exactement un élément de ce qui revient à dire que
On la note comme une fonction, on comprend que pour tout élément , on fait correspondre un seul élément de , noté
L’ensemble des applications de vers est noté ::
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Images directes et réciproques#
DéfinitionsOn appelle image directe de par l’ensemble ::
On appelle image réciproque de par ::
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Propriétéson note et et
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CompositionSoient et deux applications, est leur composition ::
La composition est associative, possède un élément neutre mais n’est pas commutative.
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Restrictions, prolongement d’applicationsSoit une application. Si est une partie de , on appelle restriction de sur l’application notée définie par ::
On dit que est un prolongement d’une application lorsque :: est une restriction de .
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Injectivité, surjectivité, bijectivité#
Injectivité#
DéfinitionUne application est injective si :: tout image a au plus un antécédent, si elle a “injecté” ses antécédents dans l’ensemble des images. Ce qui revient à ou encore
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Propriétéson note et
- Si et sont injectives, alors est injective
- Si est injective, alors est injective
Voir la démonstration
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Surjectivité#
DéfinitionUne application est surjective si :: elle est injective superchargée, ie l’injection de dans s’est produite à fond voir plus, que chaque image a au moins un antécédent, ce qui revient à
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Propriétéson note et
- Si et sont surjectives, alors est surjective
- Si est surjective, alors est surjective
Voir la démonstration
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Bijectivité#
DéfinitionUne application est bijective si :: elle est injective et surjective, elle est juste parfaite quoi, chaque image à exactement un antécédent, il y a une correspondance entre les images et les antécédents, c’est très cool, ce qui revient à
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ThéorèmeUne application est bijective si :: il existe une application de dans appelée application réciproque de et notée , telle que et
Ce qui revient à dire qu’une application est bijective s’il existe une application réciproque qui permet de passer des images aux antécédents de cette première tout en conservant les ensembles et qui donnent donc l’identité si on les compose.
est donc bijective car :: et que les ensembles se conservent (De dans )
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PropriétésOn note et deux bijections
- est une bijection entre et dont la réciproque est
- est une bijection entre et et
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