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Toute fonction est somme de deux autres paire et impaireOn le fait par analyse-synthèse.
Analyse :
Il faut supposer l’existence de la décomposition :
Ensuite on prend et on combine les deux lignes pour isoler et
Synthèse :
On teste si l’expression de et trouvé si dessus donne biens des fonction paires et impaires et que les deux fonctions s’additionnent à
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Somme d’entiers#
Par extension
avec
On “clot” cette somme : Le truc devient évident si on réécrit la somme dans l’autre sens : avec le nombre d’entiers entre et Ainsi :
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Avec changement d’indice#
Sommes télescopiques#
Linéarité de la sommeOn regarde l’extension est ensuite c’est trivial :
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Doubles sommes- “Développer” la somme en choisissant bien quelle borne on met “à l’intérieur”
- On calcule la somme en introduisant la maintenant variable
- On repasse à la somme entière
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Factorisation de BernoulliIl suffit de développer l’égalité
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Inégalité triangulaireOn met au carré et on arrange, ensuite il faut décomposer en partie réelle et imaginaire, au bout d’un moment on semble bloqué mais il faut se rendre compte que la partie de gauche est égale à deux fois la partie réelle.
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