# Toute fonction est somme de deux autres paire et impaire

On le fait par analyse-synthèse.

Analyse :

Il faut supposer l’existence de la décomposition : f=fi+fpf=f_i+f_p

Ensuite on prend f(x)f(-x) et on combine les deux lignes pour isoler fif_i et fpf_p

Synthèse :

On teste si l’expression de fif_i et fpf_p trouvé si dessus donne biens des fonction paires et impaires et que les deux fonctions s’additionnent à ff

# Somme d’entiers

# Par extension

k=pqk=Sn\sum^q_{k=p}k=S_n

avec pqp\leqslant q

On “clot” cette somme : Sn=p+(p+1)++q+q1S_n=p+(p+1)+\dotsc+q+q-1 Le truc devient évident si on réécrit la somme dans l’autre sens : Sn=q+q1++(p+1)+pS_n=q+q-1+\dotsc+(p+1)+p 2Sn=(p+q)+(p+q)++(p+q)+(p+q)2S_n=(p+q)+(p+q)+\dotsc+(p+q)+(p+q) 2Sn=(qp+1)(p+q)2S_n=(q-p+1)(p+q) avec qp+1q-p+1 le nombre d’entiers entre pp et qq Ainsi : Sn=(qp+1)(p+q)2S_n=\frac{(q-p+1)(p+q)}{2}

# Avec changement d’indice

# Sommes télescopiques

# Linéarité de la somme

k=1n(αak+βbk)\sum_{k=1}^n\left( \alpha a_k+\beta b_k \right) On regarde l’extension est ensuite c’est trivial : == α(a1++an)+β(b1++bn)=αk=1nαk+β_k=1nbk\alpha\left(a_1+\dotsc+a_n\right)+\beta\left(b_1+\dotsc+b_n\right)=\alpha\sum^n_{k=1} \alpha k+\beta\sum\_{k=1}^n b_k

# Doubles sommes

  • “Développer” la somme en choisissant bien quelle borne on met “à l’intérieur”
  • On calcule la 1eˋre\mathbf 1^{\text{\textbf{ère}}} somme en introduisant la maintenant variable
  • On repasse à la somme entière

# Factorisation de Bernoulli

Il suffit de développer l’égalité

# Inégalité triangulaire

On met au carré et on arrange, ensuite il faut décomposer en partie réelle et imaginaire, au bout d’un moment on semble bloqué mais il faut se rendre compte que la partie de gauche est égale à deux fois la partie réelle.

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