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# Ensembles

# La notion d’ensemble

Définitions

Même si la notion d’ensemble est une notion primitive, on peut dire qu’un ensemble est une collection d’objets appelés éléments.

  • On note x⊂Ex\subset E
  • Les éléments d’un ensemble sont distincts ::: il y a au plus nn éléments dans un ensemble E={x1,x2,x3,…,xn}E=\{x_1,x_2,x_3,\dots,x_n\}.
  • ⟦m,n⟧⟦m,n⟧::{k entiers},m\leqslantk\leqslantn,n,m∈N2,m⩽n\{\text{k entiers\},m\leqslant k\leqslant n},n,m\in\mathbb{N}^2,m\leqslant n
  • ⟦m,n⟧⟦m,n⟧m−n+1m-n+1 éléments
  • Soit α,{α}\alpha,\{\alpha\} est dit singleton

# Relation d’inclusion

Voir les démonstrations associés

# Opérations sur les ensembles

  • La réunion, c’est un “ou” inclusif

  • L’intersection

  • La privation (notée R\{0}\mathbb{R}\text{\textbackslash}\{0\})

  • Le produit cartésien de EE et FF est noté E×FE\times F

    C’est l’ensemble des couples (x;y),x∈E,y∈F(x;y),x\in E,y\in F

  • L’ensemble des parties de EE est noté P(E)={F,F⊂E}\mathscr{P}(E)=\{F,F\subset E\}

Exemple :
  • P(⟦1,3⟧)={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}\mathscr{P}(⟦1,3⟧)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}

À voir : Pourquoi il y a 2n2^n élément ?

# Quantificateurs et connecteurs logiques

# Quantificateurs

Ils servent à construire des énoncés mathématiques portant sur les éléments d’un ensemble.

Il y en a deux :

# Pseudo-quantificateur ∃!\exists!

Voir la méthode de démonstration associés

# Les connecteurs logiques “et” “ou” et “  ⟹  \implies”

  • ¬P\neg P:: non P (comme en français)
  • P∨QP\vee Q:: PP ou QQ (ou inclusif)
  • P∧VP\wedge V:: PP et QQ (comme en français)
  • P  ⟹  QP\implies Q (signifie ¬P∨Q\neg P\vee Q)
Exemples :
  • ¬(P∨Q):¬P∧¬Q\neg (P\vee Q):\neg P\wedge\neg Q
  • ¬(P∧Q):¬P∨¬Q\neg(P\wedge Q):\neg P\vee\neg Q
  • ¬(P  ⟹  Q):P∧¬Q\neg(P\implies Q):P\wedge\neg Q

# Table de vérité

Une table de vérité recense les valeurs de vérité des différentes propositions dans un tableau et leurs évaluations après modification par des quantificateurs.

Exemples :
PP QQ P∨QP\vee Q
V V V
V F V
F V F
F F F
PP QQ ¬(P∧Q)\neg(P\wedge Q) ¬P∨¬Q\neg P\vee\neg Q
V V F F
V F V V
F V V V
F F V V

# Types de raisonnement

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