On aura une approche calculatoire.

# Introduction et objectifs

Une équation différentielle est une équation dans laquelle une fonction inconnue et une ou plusieurs de ses dérivés apparait.

On appelle équation différentielle linéaire une équation différentielle de la forme an(x)y(n)++a0(x)y=b(x)a_n(x)y^{(n)}+\ldots+a_0(x)y=b(x) ces équations différentielles sont mieux connues, on verra ici des solutions à des équations du premier (n=1n=1) et deuxième ordre à coefficients (ana_n) constants et second membre (b(x)b(x)) particulier (de la forme P(x)ekxP(x)e^{kx}).

/!\ La théorie n’est valide que pour les ÉDL normalisés sur des intervalles

# ÉDL d’ordre 1

Soit II un intervalle Intervalle est le seul mot français qui est masculin et se termine par “alle” ! de R\mathbb{R} et a,b,α,β,γC0(I,K)a,b,\alpha,\beta,\gamma\in\mathcal{C}^0(I,\mathbb{K}).

  • On commence par résoudre l’ÉDL normalisé homogène qui a pour solution Sh={MxλeA(x)IK,λK,A=xa(t)dt}S_h=\Big\{\hspace{-1em}\phantom{M}_{x\mapsto\lambda e^{-A(x)}}^{I\to \mathbb{K}},\lambda\in\mathbb{K},A=\int^x a(t) dt\Big\}
  • On détermine une solution particulière de l’équation complète
    • Si b est de la forme i=1nλibi\sum_{i=1}^n\lambda_ib_i, on peut utiliser le principe de superposition : on trouve une solution particulière ypiy_{pi} de y+a(x)y=bi(x)y'+a(x)y=b_i(x) pour tout i; alors yp=i=1nλiypiy_p=\sum_{i=1}^n\lambda_iy_{pi}
    • Si aKa\in\mathbb{K} est une constante et si b(x)=P(x)ekxb(x)=P(x)e^{kx} avec PP une fonction polynomiale de degré pp et kKk\in\mathbb{K}, alors on cherche une solution particulière sous la forme yp(x)=Q(x)ekxy_p(x)=Q(x)e^{kx}QQ est une fonction polynomiale de degré pp si ak,p+1a\neq-k,p+1 sinon.
    • Avec la méthode de variation de la constante : on cherche ypy_p sous la forme yp(x)=λ(x)eA(x)y_p(x)=\lambda(x)e^{-A(x)}

Remarque : Les fonctions trigonométriques sont des exponentielles combinés.

  • L’ensemble des solutions est alors S=Sh+ypS=S_h+y_p

On peut affiner si l’on a les conditions initiales : c’est un problème de Cauchy.

Notons qu’il faut bien justifier pour recoller si l’on a a(x)a(x) qui s’annule.

# ÉDL d’ordre 2

  • On résout l’équation normalisé homogène en résolvant d’abord l’équation caractéristique, on note r,rr,r' les racines de l’ÉC.
    • Si les coefficients sont complexes
      • Si Δ0\Delta\neq 0, les solutions homogènes sont de la forme λerx+μerx,(λ,μ)C2\lambda e^{rx}+\mu e^{r'x},(\lambda,\mu)\in\mathbb{C}^2
      • Si Δ=0\Delta=0, les solutions homogènes sont de la forme (λx+μ)erx,(λ,μ)C2(\lambda x+\mu)e^{rx},(\lambda,\mu)\in\mathbb{C}^2
    • Si les coefficients sont réels
      • Si Δ>0\Delta >0, les solutions homogènes sont de la forme λerx+μerx,(λ,μ)R2\lambda e^{rx}+\mu e^{r'x},(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2
      • Si Δ=0\Delta=0, les solutions homogènes sont de la forme (λx+μ)erx,(λ,μ)R2(\lambda x+\mu)e^{rx},(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2
      • Si Δ<0\Delta<0, les solutions homogènes sont de la forme e(r)x(λcos((r)x)+μsin((r)x)),(λ,μ)R2e^{\Re{(r)}x}(\lambda\cos{(\Im(r)x)}+\mu\sin{(\Im(r)x)}),(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2
  • On détermine une solution particulière
    • Si le second membre est de la forme i=1nλiPi(x)ekix\sum_{i=1}^n\lambda_iP_i(x)e^{k_ix}, on peut simplifier les calculs avec le principe de superposition : yp=i=1nλiypiy_p=\sum_{i=1}^n\lambda_iy_{pi}
    • Sinon on cherche une solution particulière sous la forme yp(x)=Q(x)ekxy_p(x)=Q(x)e^{kx}QQ est une fonction polynomiale de degré p+np+nnn est le nombre de fois où kk est racine de l’ÉC.
  • L’ensemble des solutions est alors S=Sh+ypS=S_h+y_p

On peut affiner si l’on a les conditions initiales : c’est un problème de Cauchy.

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