Les fonctions de R\mathbb{R} dans R\mathbb{R} sont faciles à étudier notamment grace à l’existence de la relation d’ordre dans R\mathbb{R}

# Vocabulaire sur les fonctions, techniques d’étude de fonctions

# Dériver

x1xnx\to \frac{1}{x^n} Donne : 1xn=xn\frac{1}{x^n}=x^{-n}

Or la primitive de xnx^{-n} est xn+1n+1,n1\frac{x^{-n+1}}{-n+1},\,n\neq 1

Si n=1n=1 : la primitive de 1x1=x1=ln(x)\frac{1}{x^1}=x^{-1}=\ln{(|x|)} (sur R\mathbb{R})

# Intervalles

II est un intervalle si (a,b)I\forall (a,b)\in I, tout point de CC entre aa et bb est aussi dans II

Il est important de travailler sur un interval bien défini, deux intervals différent pour une même fonction peut changer complétement son comportement.

# Théorème

Soit II un interval, soit ff une fonction dérivable sur II. Si f=0f'=0 sur II, alors ff est constante sur II

# Grands théorèmes

# Continuité

# Théorème des Valeurs Intermédiaires (T.V.I)

Soit II un interval de R\mathbb{R} et f:IRf:I\to\mathbb{R} continue sur II

f(I)f(I) est un interval ie pour tous points, f(a)f(a) et f(b)f(I)f(b)\in f(I);

Toutes valeur tt entre f(a)f(a) et f(b)f(b) est aussi dans f(I)f(I), ie une valeur prise par ff ie il existe CI,f(C)=tC\in I,\,f(C)=t

Note : 00 est une valeur intermédiaire privilégié

Résoudre : f(x)=g(x)f(x)=g(x)

Si ff et gg sont continues, cela revient à dire que 00 est une valeur prise par fgf-g

# Théorème de la bijection bicontinue

Soit II un interval de R\mathbb{R} f:IRf:I\to \mathbb{R} continue sur II :

Si ff est strictement monotone :: ff est bijective de II sur f(I)f(I), de plus f1f^{-1} est continue sur f(I)f(I)

# Théorème (dérivabilité d’une bijection réciproque)

Soit II un interval, f:IRf:I\to\mathbb{R} continue et bijective de II sur f(I)f(I)

Note : f1:(I)yf1(y)f(I)Rf^{-1}:\phantom{}^{f(I)\to R}_{\phantom{(I)}y\to f^{-1}(y)} est bien définie

En quels point y-est-elle dérivable et alors que vaut (f1)(y)(f^{-1})'(y) ?

Si ff est dérivable en x0Ix_0\in I et si f(x0)0f'(x_0)\neq 0

Alors f1f^{-1} est dérivable en f(x)f(x) et :: (f1)(f(x0))=1f(x0)(f^{-1})'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)}

Si on note y0=f(x0)x0=f1(y0)y_0=f(x_0)\Longleftrightarrow x_0=f^{-1}(y_0)

(f1)(y0)=1f(f1(x0))(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x_0))}

# Théorème des accroissements finis

Soit f:[a,b]Rf:[a,b]\to\mathbb{R} une application continue sur [a,b][a,b] et dérivable sur ]a,b[]a,b[

Alors il existe c]a,b[c\in ]a,b[ tel que f(c)=f(b)f(a)baf'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

# Caractérisation des fonctions monotones et constantes

Soit f:IRf:I\to\mathbb{R} une application dérivable sur II. On note Z(f)={xI,f(x)=0}\mathcal{Z}(f')=\{x\in I,f'(x)=0\}. C’est l’ensemble des points de iiff' s’annule. Alors :

  • ff est constante sur If(x)=0,xII\Longleftrightarrow f'(x)=0,\forall x \in I.
  • ff est (dé)croissante sur If(x)()0,xII\Longleftrightarrow f'(x)(\leqslant)\geqslant0,\forall x\in I
  • ff est strictement (dé)croissante si l’inégalité précédente est vraie et si Z(f)\mathcal{Z}(f') ne contient aucun intervalle non vide et non réduit à un point.

Voir le PDF