Fonctions réelles : généralités

Les fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ sont faciles à étudier notamment grace à l’existence de la relation d’ordre dans $\mathbb{R}$

# Vocabulaire sur les fonctions, techniques d’étude de fonctions

# Dériver

$x\to \frac{1}{x^n}$ Donne : $\frac{1}{x^n}=x^{-n}$

Or la primitive de $x^{-n}$ est $\frac{x^{-n+1}}{-n+1},\,n\neq 1$

Si $n=1$ : la primitive de $\frac{1}{x^1}=x^{-1}=\ln{(|x|)}$ (sur $\mathbb{R}$)

# Intervalles

$I$ est un intervalle si $\forall (a,b)\in I$, tout point de $C$ entre $a$ et $b$ est aussi dans $I$

Il est important de travailler sur un interval bien défini, deux intervals différent pour une même fonction peut changer complétement son comportement.

# Théorème

Soit $I$ un interval, soit $f$ une fonction dérivable sur $I$. Si $f'=0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$

# Grands théorèmes

# Continuité

# Théorème des Valeurs Intermédiaires (T.V.I)

Soit $I$ un interval de $\mathbb{R}$ et $f:I\to\mathbb{R}$ continue sur $I$

$f(I)$ est un interval ie pour tous points, $f(a)$ et $f(b)\in f(I)$;

Toutes valeur $t$ entre $f(a)$ et $f(b)$ est aussi dans $f(I)$, ie une valeur prise par $f$ ie il existe $C\in I,\,f(C)=t$

Note : $0$ est une valeur intermédiaire privilégié

Résoudre : $f(x)=g(x)$

Si $f$ et $g$ sont continues, cela revient à dire que $0$ est une valeur prise par $f-g$

# Théorème de la bijection bicontinue

Soit $I$ un interval de $\mathbb{R}$ $f:I\to \mathbb{R}$ continue sur $I$ :

Si $f$ est strictement monotone :: $f$ est bijective de $I$ sur $f(I)$, de plus $f^{-1}$ est continue sur $f(I)$

# Théorème (dérivabilité d’une bijection réciproque)

Soit $I$ un interval, $f:I\to\mathbb{R}$ continue et bijective de $I$ sur $f(I)$

Note : $f^{-1}:\phantom{}^{f(I)\to R}_{\phantom{(I)}y\to f^{-1}(y)}$ est bien définie

En quels point y-est-elle dérivable et alors que vaut $(f^{-1})'(y)$ ?

Si $f$ est dérivable en $x_0\in I$ et si $f'(x_0)\neq 0$

Alors $f^{-1}$ est dérivable en $f(x)$ et :: $(f^{-1})'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)}$

Si on note $y_0=f(x_0)\Longleftrightarrow x_0=f^{-1}(y_0)$

$(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x_0))}$

# Théorème des accroissements finis

Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ une application continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$

Alors il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

# Caractérisation des fonctions monotones et constantes

Soit $f:I\to\mathbb{R}$ une application dérivable sur $I$. On note $\mathcal{Z}(f')=\{x\in I,f'(x)=0\}$. C’est l’ensemble des points de $i$ où $f'$ s’annule. Alors :

• $f$ est constante sur $I\Longleftrightarrow f'(x)=0,\forall x \in I$.
• $f$ est (dé)croissante sur $I\Longleftrightarrow f'(x)(\leqslant)\geqslant0,\forall x\in I$
• $f$ est strictement (dé)croissante si l’inégalité précédente est vraie et si $\mathcal{Z}(f')$ ne contient aucun intervalle non vide et non réduit à un point.

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