Les fonctions de dans sont faciles à étudier notamment grace à l’existence de la relation d’ordre dans
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Vocabulaire sur les fonctions, techniques d’étude de fonctions#
DériverDonne :
Or la primitive de est
Si : la primitive de (sur )
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Intervallesest un intervalle si , tout point de entre et est aussi dans
Il est important de travailler sur un interval bien défini, deux intervals différent pour une même fonction peut changer complétement son comportement.
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ThéorèmeSoit un interval, soit une fonction dérivable sur . Si sur , alors est constante sur
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Grands théorèmes#
Continuité#
Théorème des Valeurs Intermédiaires (T.V.I)Soit un interval de et continue sur
est un interval ie pour tous points, et ;
Toutes valeur entre et est aussi dans , ie une valeur prise par ie il existe
Note : est une valeur intermédiaire privilégié
Résoudre :
Si et sont continues, cela revient à dire que est une valeur prise par
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Théorème de la bijection bicontinueSoit un interval de continue sur :
Si est strictement monotone :: est bijective de sur , de plus est continue sur
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Théorème (dérivabilité d’une bijection réciproque)Soit un interval, continue et bijective de sur
Note : est bien définie
En quels point y-est-elle dérivable et alors que vaut ?
Si est dérivable en et si
Alors est dérivable en et ::
Si on note
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Théorème des accroissements finisSoit une application continue sur et dérivable sur
Alors il existe tel que
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Caractérisation des fonctions monotones et constantesSoit une application dérivable sur . On note . C’est l’ensemble des points de où s’annule. Alors :
- est constante sur .
- est (dé)croissante sur
- est strictement (dé)croissante si l’inégalité précédente est vraie et si ne contient aucun intervalle non vide et non réduit à un point.
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