Ce document présente des méthodes usuelles qui peuvent être utiles dans des démonstrations courantes.
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ContraposéSi on a du mal à démontrer une propriété, on peut essayer de démontrer sa contraposée
C’est-à-dire ne pas démontrer mais
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AbsurdeOn montre un énoncé en montrant que :: aboutit à une contradiction
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Récurrence#
Récurrence simpleOn initialise la démonstration avec le plus petit entier possible du domaine de définition de que l’on oublie pas de fixer
On fait l’hérédité : on montre que si est vrai, alors l’est aussi. Pour ça, il peut être utile de marquer et côte à côte et chercher comment faire le lien entre les deux.
On peut conclure en exhibant les cas qu’on avait éventuellement exclus de l’ensemble de définition de et avec une petite phrase.
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Récurrence forteC’est le même principe que la récurrence sauf que l’on a plusieurs hypothèses de récurrence.
On cherche donc à montrer que
Ce qui revient à faire une récurrence simple sur : “”
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Analyse-synthèse- Phase d’analyse :: on cherche à trouver la forme de ce que l’on cherche
- Phase de synthèse :: on part de la forme trouvée et on regarde si ça marche
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DisjonctionDisjonction :: on examine tous les cas possibles pour montrer que la propriété est vraie
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Existence#
Existence simplePour prouver un énoncé du type , on peut :
- Utiliser un exemple
- Utiliser un théorème d’existence
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Existence largePour prouver un énoncé du type
- On fixe
- On essaye de montrer
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Existence strictePour prouver un énoncé du type
- On prouve
- On prouve l’unicité d’un tel
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Égalité de deux ensemblesPour prouver que deux ensembles sont égaux, on peut montrer que l’ensemble est inclus dans l’ensemble et vice-versa.
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Un ensemble est inclus dans un autrePour prouver que est inclus dans , il faut utiliser le format suivant :
Montrons que
Prenons donc un élément de c’est-à-dire définition de l'élément
Montrons que cet élément
appartient à c’est-à-dire que cet élément
vérifie
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UnicitéPour montrer l’unicité d’une solution on peut montrer que :: si l’on essaye de chercher une autre variable aboutissant à la vérification de la propriété, on retrouvera forcément la même variable :
vérifie la propriété
Soit vérifiant aussi la propriété, alors
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