On aura une approche technique du sujet.

# Théorème fondamental du calcul intégral

Soient fC(I,C)f\in\mathcal{C}(I,\mathbb{C}) et (a,b)I2(a,b)\in I^2.

  • Alors la fonction caxf(t)dtc\mapsto \int_a^x f(t)dt est une primitive de ff sur II, souvent noté FF.
  • Pour toute primitive FF de ff sur II, abf(t)dt=abf=F]ab=F(b)F(a)\int_a^b f(t)dt=\int_a^b f=F]^b_a=F(b)-F(a).

# Primitives usuelles

Ces primitives usuelles sont à connaitre.

Dans ce qui suit, uu et vv désignent deux fonctions d’une variable réelle xx, et c,kc,k deux constantes réelle.

  • Si α1\alpha \neq -1, xtαdt=1α+1xα+1+c\displaystyle \int^x t^\alpha \mathrm{d} t = \frac{1}{\alpha + 1}x^{\alpha +1} + c
  • x1tdt=ln(x)+c\displaystyle\int^x \frac{1}t \mathrm{d} t = \ln(|x|)+c
  • x1t+αdt=ln(x+α)+c\displaystyle\int^x \frac{1}{t+\alpha }\mathrm{d} t = \ln(|x+\alpha |)+c
  • xetdt=ex+c\displaystyle\int^x e^t \mathrm{d} t = e^x + c
  • Si α>0\alpha > 0 et α1\alpha \neq 1, xαtdt=1ln(α)×αx+c\displaystyle\int^x \alpha^t \mathrm{d} t= \frac{1}{\ln(\alpha)}\times \alpha^x + c
  • xcos(t)dt=sin(x)+c\displaystyle\int^x \cos(t) \mathrm{d} t = \sin(x) + c
  • xsin(t)dt=cos(x)+c\displaystyle\int^x \sin(t)\mathrm{d} t = -\cos(x)+ c
  • Si α0\alpha \neq 0, xcos(αt)dt=1αsin(αx)+c\displaystyle\int^x \cos(\alpha t)\mathrm{d} t = \frac{1}{\alpha} \sin(\alpha x) + c
  • Si α0\alpha \neq 0, xsin(αt)dt=1αcos(αx)+c\displaystyle\int^x \sin(\alpha t )\mathrm{d} t = \frac{1}{\alpha} \cos(\alpha x)+ c
  • x1cos2(t)dt=tan(x)+c\displaystyle \int^x \frac{1}{\cos ^2(t)} \mathrm{d} t = \tan(x)+ c
  • x1+tan2(t)dt=tan(x)+c\displaystyle\int^x 1 + \tan ^2(t)\mathrm{d} t = \tan(x)+ c
  • x1sin2(t)dt=1tan(x)+c\displaystyle\int^x \frac{1}{\sin ^2(t)} \mathrm{d} t = -\frac{1}{\tan (x)} + c
  • x11+t2dt=arctan(x)+c\displaystyle\int^x \frac{1}{1+t^2} \mathrm{d} t = \arctan(x)+ c
  • xcosh(t)dt=sinh(x)+c\displaystyle\int^x \cosh(t)\mathrm{d} t = \sinh(x)+ c
  • xsinh(t)dt=cosh(x)+c\displaystyle\int^x \sinh(t)\mathrm{d} t = \cosh(x)+ c
  • x1cosh2(t)dt=tanh(x)+c\displaystyle\int^x \frac{1}{\cosh^2(t)} \mathrm{d} t = \tanh(x)+ c
  • x1sinh2(t)dt=1tanh(x)+c\displaystyle\int^x \frac{1}{\sinh^2(t)} \mathrm{d} t = \frac{1}{\tanh(x)} + c

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