Primitives

On aura une approche technique du sujet.

# Théorème fondamental du calcul intégral

Soient $f\in\mathcal{C}(I,\mathbb{C})$ et $(a,b)\in I^2$.

• Alors la fonction $c\mapsto \int_a^x f(t)dt$ est une primitive de $f$ sur $I$, souvent noté $F$.
• Pour toute primitive $F$ de $f$ sur $I$, $\int_a^b f(t)dt=\int_a^b f=F]^b_a=F(b)-F(a)$.

# Primitives usuelles

Ces primitives usuelles sont à connaitre.

Dans ce qui suit, $u$ et $v$ désignent deux fonctions d’une variable réelle $x$, et $c,k$ deux constantes réelle.

• Si $\alpha \neq -1$, $\displaystyle \int^x t^\alpha \mathrm{d} t = \frac{1}{\alpha + 1}x^{\alpha +1} + c$
• $\displaystyle\int^x \frac{1}t \mathrm{d} t = \ln(|x|)+c$
• $\displaystyle\int^x \frac{1}{t+\alpha }\mathrm{d} t = \ln(|x+\alpha |)+c$
• $\displaystyle\int^x e^t \mathrm{d} t = e^x + c$
• Si $\alpha > 0$ et $\alpha \neq 1$, $\displaystyle\int^x \alpha^t \mathrm{d} t= \frac{1}{\ln(\alpha)}\times \alpha^x + c$
• $\displaystyle\int^x \cos(t) \mathrm{d} t = \sin(x) + c$
• $\displaystyle\int^x \sin(t)\mathrm{d} t = -\cos(x)+ c$
• Si $\alpha \neq 0$, $\displaystyle\int^x \cos(\alpha t)\mathrm{d} t = \frac{1}{\alpha} \sin(\alpha x) + c$
• Si $\alpha \neq 0$, $\displaystyle\int^x \sin(\alpha t )\mathrm{d} t = \frac{1}{\alpha} \cos(\alpha x)+ c$
• $\displaystyle \int^x \frac{1}{\cos ^2(t)} \mathrm{d} t = \tan(x)+ c$
• $\displaystyle\int^x 1 + \tan ^2(t)\mathrm{d} t = \tan(x)+ c$
• $\displaystyle\int^x \frac{1}{\sin ^2(t)} \mathrm{d} t = -\frac{1}{\tan (x)} + c$
• $\displaystyle\int^x \frac{1}{1+t^2} \mathrm{d} t = \arctan(x)+ c$
• $\displaystyle\int^x \cosh(t)\mathrm{d} t = \sinh(x)+ c$
• $\displaystyle\int^x \sinh(t)\mathrm{d} t = \cosh(x)+ c$
• $\displaystyle\int^x \frac{1}{\cosh^2(t)} \mathrm{d} t = \tanh(x)+ c$
• $\displaystyle\int^x \frac{1}{\sinh^2(t)} \mathrm{d} t = \frac{1}{\tanh(x)} + c$

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