#
Sommes
#
Le symbole Σ
Note : l’indice de sommation est muet=¬paramètre :: il n’a pas d’importance vis-à-vis de la formule.
Exemples : voir les
démonstrations
#
Linéarité de la somme
Soient
- a1,…,an∈K
- b1,…,bn∈K
- α,β∈K
k=1∑n(αak+βbk)= αk=1∑nk+βk=1∑nbk
Notons que les dérivés et intégrales ont les mêmes propriétés, je me demande si cela à un lien avec les matrices Jacobiennes…
Voir la
démonstration
#
Changements d’indices
Soient :
- p⩽q
- ap,ap+1,…,aq∈k
Alors k=p∑qak= i=0∑q−pai+p
On pose
i=k−p
⟺k=i+p
On peut le démontrer par extension.
Voir les
exemples de démonstrations
#
Sommes téléscopiques
Soient n∈N∗ et a1,…,an∈K
Alors,
k=1∑n−1(ak−1−ak)= an−a1
On peut le voir instantanément en développant.
Voir la
démonstration
#
Sommes doubles
En fait, on somme tous les termes du tableau :
i\j |
1 |
2 |
⋯ |
m |
1 |
a11 |
a12 |
⋯ |
a1m |
2 |
a21 |
a22 |
⋯ |
a2m |
⋮ |
⋮ |
⋮ |
|
⋮ |
n |
an1 |
an2 |
⋯ |
anm |
Voir la
notation et la
méthode de démonstration
Exemples :
Pour n∈N∗, Sn=1⩽i⩽n∑(i+j)2=1⩽i⩽n∑1⩽j⩽n
\begin{align*}
=&\sum_{j=1}^n\left(\sum_{j=1}^{n} {(i+j)}^2 \right)\
=&\sum_{i=1}^{n} \left( \sum_{i=1}^n (i+j)^2 \right)\
\end{align*}
\begin{align*}
\forall j\in ⟦1,n⟧\text{ calculons d’abord :}\
&\sum_{i=1}^{n} (i+j)^2\
=&\sum_{i=1}^{n} \left( i^2+j^2+2j \right) \
=&\sum_{i=1}^ni^2+j^2 \sum_{i+1}^{n} 1+2j\sum_{i=1}^{n}i\
=&\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+j^2\times n + \frac{2j(n)(n+1)}{2}\
\end{align*}
\begin{align*}
\text{On passe à } S_n :\
&S_n=2\times \frac{n^2(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n^2(n+1)^2}{2}
\end{align*}
Pour n∈N∗, 1⩽i,j⩽n∑max(i,j),
il faut “couper” la somme en deux parties, l’une ou i<j et une ou j<i :: i=1∑jj+i=j+1∑ni
#
Sommes classiques
#
Sommes des puissances d’entiers
∀n∈N∗
- k=1∑nk= 2n(n+1)
- k=1∑nk2= 6n(n+1)(2n+1)
- k=1∑nk3= (2n(n+1))2
Voir la
démonstration
#
Binôme de Newton
#
Triangle de Pascal
(kn)= k!(n−k)!n!
#
Propriété
Pour k,n∈N∗2,k⩽n
- (kn)= (n−kn)
- (kn)+(k−1n)= (kn+1)
On prouve cela par la définition de (kn)
Formule du pion
Pour k,n∈N∗,k⩽n
k×(kn)= n×(k−1n−1)
Formule du Binôme de Newton
Soient (a,b)∈K2,n∈N
(a+b)n= k=0∑n(kn)akbn+k
On
démontre cette formule par récurrence
#
Sommes géométriques
k=0∑nak= 1−a1−an
Si a=1, la somme est égale à n
#
Factorisation de Bernoulli
an−bn= (a−b)×k=1∑nak×bn−1−k
On remarque que pour k=1, on revient sur la formule des sommes géométriques
Voir la
démonstration
#
Divers
Sn=k=0∑nk×(kn)
Pour clore cette somme, on utilise le binôme de Newton et la formule du pion avec un changement d’indice comme transition.
Il est à noter que la formule du pion se démontre par l’expression de (kn)
Sn=k=0∑nk2×(kn)
Il suffit d’utiliser le résultat précédent avec un peu d’astuce
#
Produits
#
Le symbole Π
Voir la
notation
#
Produits à connaitre
- k=1∏nk= n!
- k=1∏nα= αn
- k∏n=1k=2×4×⋯×2n=2×(2n)= 2×(2×2)×(2×3)⋯×2×n=2n×n!
(k∈[[1,2n]])
- k=1∏nk=1×3×5×⋯×(2n+1)= 2n×n!(2n+1)!
(k∈[[1,2n+1]])
#
Propriétés
- Simplification télescopique : k=1∏n−1akak+1= a1an
- Produit double : i=1∏nj=1∏mai,j= j=1∏mi=1∏nai,j
- Produit double : i=1∏nj=i∏nai,j= j=1∏ni=1∏jai,j
Voir le
PDF