# Sommes

# Le symbole Σ\Sigma

Note : l’indice de sommation est muet=¬=\negparamètre :: il n’a pas d’importance vis-à-vis de la formule.

Exemples : voir les démonstrations

# Linéarité de la somme

Soient

  • a1,,anKa_1,\dotsc,a_n\in\mathbb{K}
  • b1,,bnKb_1,\dotsc,b_n\in\mathbb{K}
  • α,βK\alpha,\beta\in\mathbb{K}

k=1n(αak+βbk)=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left( \alpha a_k + \beta b_k\right)= αk=1nk+βk=1nbk\displaystyle\alpha\sum_{k=1}^n k+\beta\sum_{k=1}^n b_k

Notons que les dérivés et intégrales ont les mêmes propriétés, je me demande si cela à un lien avec les matrices Jacobiennes…

Voir la démonstration

# Changements d’indices

Soient :

  • pqp\leqslant q
  • ap,ap+1,,aqka_p,ap+1,\dotsc,a_q\in \mathbb{k}

Alors k=pqak=\displaystyle\sum_{k=p}^q a_k= i=0qpai+p\displaystyle\sum^{q-p}_{i=0}a_{i+p} On pose i=kpi=k-p k=i+p\Longleftrightarrow k=i+p

On peut le démontrer par extension.

Voir les exemples de démonstrations

# Sommes téléscopiques

Soient nNn\in \mathbb{N}^* et a1,,anKa_1,\dotsc,a_n\in\mathbb{K}

Alors, k=1n1(ak1ak)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left( a_{k-1}-a_{k} \right)= ana1a_n-a_1

On peut le voir instantanément en développant.

Voir la démonstration

# Sommes doubles

En fait, on somme tous les termes du tableau :

i\j 11 22 \cdots mm
11 a11a_{11} a12a_{12} \cdots a1ma_{1m}
22 a21a_{21} a22a_{22} \cdots a2ma_{2m}
\vdots \vdots \vdots \vdots
nn an1a_{n1} an2a_{n2} \cdots anma_{nm}

Voir la notation et la méthode de démonstration

Exemples :

Pour nNn\in\mathbb{N}^*, Sn=1in(i+j)2=1in1jn\displaystyle S_n=\sum_{1\leqslant i\leqslant n}(i+j)^2=\mathop{\sum_{1\leqslant i\leqslant n}}_{1\leqslant j\leqslant n}

\begin{align*} =&\sum_{j=1}^n\left(\sum_{j=1}^{n} {(i+j)}^2 \right)\ =&\sum_{i=1}^{n} \left( \sum_{i=1}^n (i+j)^2 \right)\ \end{align*}

\begin{align*} \forall j\in ⟦1,n⟧\text{ calculons d’abord :}\ &\sum_{i=1}^{n} (i+j)^2\ =&\sum_{i=1}^{n} \left( i^2+j^2+2j \right) \ =&\sum_{i=1}^ni^2+j^2 \sum_{i+1}^{n} 1+2j\sum_{i=1}^{n}i\ =&\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+j^2\times n + \frac{2j(n)(n+1)}{2}\ \end{align*}

\begin{align*} \text{On passe à } S_n :\ &S_n=2\times \frac{n^2(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n^2(n+1)^2}{2} \end{align*}

Pour nNn\in\mathbb{N}^*, 1i,jnmax(i,j)\displaystyle \sum_{1\leqslant i,j\leqslant n} \max{(i,j)}, il faut “couper” la somme en deux parties, l’une ou i<ji<j et une ou j<ij<i :: i=1jj+i=j+1ni\displaystyle \sum_{i=1}^{j} j+ \sum_{i=j+1}^{n} i

# Sommes classiques

# Sommes des puissances d’entiers

nN\forall n\in\mathbb{N}^*

  • k=1nk=\displaystyle\sum_{k=1}^n k= n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}
  • k=1nk2=\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2= n(n+1)(2n+1)6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
  • k=1nk3=\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3= (n(n+1)2)2{\left( \frac{n(n+1)}{2} \right) }^2

Voir la démonstration

# Binôme de Newton

# Triangle de Pascal

(nk)={n\choose k}= n!k!(nk)!\frac{n!}{k!(n-k)!}

# Propriété

Pour k,nN2,knk,n\in \mathbb{N}^{*2},k\leqslant n

  • (nk)={n \choose k}= (nnk){n\choose n-k}
  • (nk)+(nk1)={n\choose k}+{n\choose k-1}= (n+1k){n+1\choose k}

On prouve cela par la définition de (nk)n\choose k

# Formule du pion

Pour k,nN,knk,n\in\mathbb{N}^*,k\leqslant n

k×(nk)=k\times{n\choose k}= n×(n1k1)n\times{n-1\choose k-1}

# Formule du Binôme de Newton

Soient (a,b)K2,nN(a,b)\in \mathbb{K}^2, n \in\mathbb{N}

(a+b)n=(a+b)^n= k=0n(nk)akbn+k\displaystyle\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n+k}

On démontre cette formule par récurrence

# Sommes géométriques

k=0nak=\displaystyle\sum_{k=0}^na^k= 1an1a\frac{1-a^n}{1-a}

Si a=1a=1, la somme est égale à nn

# Factorisation de Bernoulli

anbn=\displaystyle a^n-b^n= (ab)×k=1nak×bn1k\displaystyle(a-b)\times\sum_{k=1}^na^k\times b^{n-1-k}

On remarque que pour k=1k=1, on revient sur la formule des sommes géométriques

Voir la démonstration

# Divers

Sn=k=0nk×(nk)\displaystyle S_n = \sum_{k=0}^{n} k\times{n\choose k}

Pour clore cette somme, on utilise le binôme de Newton et la formule du pion avec un changement d’indice comme transition.

Il est à noter que la formule du pion se démontre par l’expression de (nk)n\choose k

Sn=k=0nk2×(nk)\displaystyle S_n = \sum_{k=0}^{n} k^2\times{n\choose k}

Il suffit d’utiliser le résultat précédent avec un peu d’astuce

# Produits

# Le symbole Π\Pi

Voir la notation

# Produits à connaitre

  • k=1nk=\displaystyle\prod_{k=1}^n k= n!n!
  • k=1nα=\displaystyle \prod_{k=1}^{n} \alpha= αn\alpha^n
  • kn=1k=2×4××2n=2×(2n)=\displaystyle \prod_{k}^{n=1} k=2\times 4\times\dots\times 2n=2\times(2n)= 2×(2×2)×(2×3)×2×n=2n×n!2\times(2\times 2)\times (2\times 3)\dots\times 2\times n=2^n\times n! (k1,2n)(k\in⟦1,2n⟧)
  • k=1nk=1×3×5××(2n+1)=\displaystyle \prod_{k=1}^{n} k=1\times 3\times 5\times\dots\times(2n+1)= (2n+1)!2n×n!\frac{\left( 2n+1 \right)!}{2^n\times n!} (k1,2n+1)(k\in⟦1,2n+1⟧)

# Propriétés

  • Simplification télescopique : k=1n1ak+1ak=\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} \frac{a_{k+1}}{a_k}= ana1\frac{a_n}{a_1}
  • Produit double : i=1nj=1mai,j=\displaystyle\prod_{i=1}^{n} \prod_{j=1}^{m} a_{i,j}= j=1mi=1nai,j\displaystyle\prod_{j=1}^{m} \prod_{i=1}^{n} a_{i,j}
  • Produit double : i=1nj=inai,j=\displaystyle\prod_{i=1}^{n} \prod_{j=i}^{n} a_{i,j}= j=1ni=1jai,j\displaystyle\prod_{j=1}^{n} \prod_{i=1}^{j} a_{i,j}

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