Sommes et produits

# Sommes

# Le symbole $\Sigma$

Note : l’indice de sommation est muet$=\neg$paramètre :: il n’a pas d’importance vis-à-vis de la formule.

Exemples : voir les démonstrations

# Linéarité de la somme

Soient

• $a_1,\dotsc,a_n\in\mathbb{K}$
• $b_1,\dotsc,b_n\in\mathbb{K}$
• $\alpha,\beta\in\mathbb{K}$

$\displaystyle\sum_{k=1}^n\left( \alpha a_k + \beta b_k\right)=$ $\displaystyle\alpha\sum_{k=1}^n k+\beta\sum_{k=1}^n b_k$

Notons que les dérivés et intégrales ont les mêmes propriétés, je me demande si cela à un lien avec les matrices Jacobiennes…

Voir la démonstration

# Changements d’indices

Soient :

• $p\leqslant q$
• $a_p,ap+1,\dotsc,a_q\in \mathbb{k}$

Alors $\displaystyle\sum_{k=p}^q a_k=$ $\displaystyle\sum^{q-p}_{i=0}a_{i+p}$ On pose $i=k-p$ $\Longleftrightarrow k=i+p$

On peut le démontrer par extension.

Voir les exemples de démonstrations

# Sommes téléscopiques

Soient $n\in \mathbb{N}^*$ et $a_1,\dotsc,a_n\in\mathbb{K}$

Alors, $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left( a_{k-1}-a_{k} \right)=$ $a_n-a_1$

On peut le voir instantanément en développant.

Voir la démonstration

# Sommes doubles

En fait, on somme tous les termes du tableau :

Voir la notation et la méthode de démonstration

# Sommes classiques

# Sommes des puissances d’entiers

$\forall n\in\mathbb{N}^*$

• $\displaystyle\sum_{k=1}^n k=$ $\frac{n(n+1)}{2}$
• $\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2=$ $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
• $\displaystyle\sum_{k=1}^n k^3=$ ${\left( \frac{n(n+1)}{2} \right) }^2$

Voir la démonstration

# Binôme de Newton

# Triangle de Pascal

${n\choose k}=$ $\frac{n!}{k!(n-k)!}$

# Propriété

Pour $k,n\in \mathbb{N}^{*2},k\leqslant n$

• ${n \choose k}=$ ${n\choose n-k}$
• ${n\choose k}+{n\choose k-1}=$ ${n+1\choose k}$

On prouve cela par la définition de $n\choose k$

# Formule du pion

Pour $k,n\in\mathbb{N}^*,k\leqslant n$

$k\times{n\choose k}=$ $n\times{n-1\choose k-1}$

# Formule du Binôme de Newton

Soient $(a,b)\in \mathbb{K}^2, n \in\mathbb{N}$

$(a+b)^n=$ $\displaystyle\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n+k}$

On démontre cette formule par récurrence

# Sommes géométriques

$\displaystyle\sum_{k=0}^na^k=$ $\frac{1-a^n}{1-a}$

Si $a=1$, la somme est égale à $n$

# Factorisation de Bernoulli

$\displaystyle a^n-b^n=$ $\displaystyle(a-b)\times\sum_{k=1}^na^k\times b^{n-1-k}$

On remarque que pour $k=1$, on revient sur la formule des sommes géométriques

Voir la démonstration

# Divers

$\displaystyle S_n = \sum_{k=0}^{n} k\times{n\choose k}$

Pour clore cette somme, on utilise le binôme de Newton et la formule du pion avec un changement d’indice comme transition.

Il est à noter que la formule du pion se démontre par l’expression de $n\choose k$

$\displaystyle S_n = \sum_{k=0}^{n} k^2\times{n\choose k}$

Il suffit d’utiliser le résultat précédent avec un peu d’astuce

# Produits

# Le symbole $\Pi$

Voir la notation

# Produits à connaitre

• $\displaystyle\prod_{k=1}^n k=$ $n!$
• $\displaystyle \prod_{k=1}^{n} \alpha=$ $\alpha^n$
• $\displaystyle \prod_{k}^{n=1} k=2\times 4\times\dots\times 2n=2\times(2n)=$ $2\times(2\times 2)\times (2\times 3)\dots\times 2\times n=2^n\times n!$ $(k\in⟦1,2n⟧)$
• $\displaystyle \prod_{k=1}^{n} k=1\times 3\times 5\times\dots\times(2n+1)=$ $\frac{\left( 2n+1 \right)!}{2^n\times n!}$ $(k\in⟦1,2n+1⟧)$

# Propriétés

• Simplification télescopique : $\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} \frac{a_{k+1}}{a_k}=$ $\frac{a_n}{a_1}$
• Produit double : $\displaystyle\prod_{i=1}^{n} \prod_{j=1}^{m} a_{i,j}=$ $\displaystyle\prod_{j=1}^{m} \prod_{i=1}^{n} a_{i,j}$
• Produit double : $\displaystyle\prod_{i=1}^{n} \prod_{j=i}^{n} a_{i,j}=$ $\displaystyle\prod_{j=1}^{n} \prod_{i=1}^{j} a_{i,j}$

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