cours

On aura une approche calculatoire. Introduction et objectifs Une équation différentielle est une équation dans laquelle une fonction inconnue et une ou plusieurs de ses dérivés apparait. On appelle équation différentielle linéaire une équation différentielle de la forme an(x)y(n)+…+a0(x)y=b(x)a_n(x)y^{(n)}+\ldots+a_0(x)y=b(x)an​(x)y(n)+…+a0​(x)y=b(x) ces équations différentielles sont mieux connues, on verra ici des solutions à des équations du premier (n=1n=1n=1) et deuxième ordre à coefficients (ana_nan​) constants et second membre (b(x)b(x)b(x)) particulier (de la forme P(x)ekxP(x)e^{kx}P(x)ekx).

On aura une approche technique du sujet. Théorème fondamental du calcul intégral Soient f∈C(I,C)f\in\mathcal{C}(I,\mathbb{C})f∈C(I,C) et (a,b)∈I2(a,b)\in I^2(a,b)∈I2. Alors la fonction c↦∫axf(t)dtc\mapsto \int_a^x f(t)dtc↦∫ax​f(t)dt est une primitive de fff sur III, souvent noté FFF. Pour toute primitive FFF de fff sur III, ∫abf(t)dt=∫abf=F]ab=F(b)−F(a)\int_a^b f(t)dt=\int_a^b f=F]^b_a=F(b)-F(a)∫ab​f(t)dt=∫ab​f=F]ab​=F(b)−F(a). Primitives usuelles Ces primitives usuelles sont à connaitre. Dans ce qui suit, uuu et vvv désignent deux fonctions d’une variable réelle xxx, et c,kc,kc,k deux constantes réelle.

Les fonctions de R\mathbb{R}R dans R\mathbb{R}R sont faciles à étudier notamment grace à l’existence de la relation d’ordre dans R\mathbb{R}R Vocabulaire sur les fonctions, techniques d’étude de fonctions Dériver x→1xnx\to \frac{1}{x^n}x→xn1​ Donne : 1xn=x−n\frac{1}{x^n}=x^{-n}xn1​=x−n Or la primitive de x−nx^{-n}x−n est x−n+1−n+1, n≠1\frac{x^{-n+1}}{-n+1},\,n\neq 1−n+1x−n+1​,n​=1 Si n=1n=1n=1 : la primitive de 1x1=x−1=ln⁡(∣x∣)\frac{1}{x^1}=x^{-1}=\ln{(|x|)}x11​=x−1=ln(∣x∣) (sur R\mathbb{R}R) Intervalles III est un intervalle si ∀(a,b)∈I\forall (a,b)\in I∀(a,b)∈I, tout point de CCC entre aaa et bbb est aussi dans III